Markov Chains
“지금 상태”만 보고
다음 상태를 예측하는 법

날씨 예제로 보는 상태 지도

아래 그림에서 원은 상태, 화살표는 전이, 숫자는 전이확률입니다. 예를 들어 오늘이 맑음이면 내일도 맑을 확률이 70%, 흐릴 확률이 20%, 비가 올 확률이 10%라고 둡니다.

그림을 표로 바꾸면 전이행렬

행은 오늘 상태, 열은 내일 상태입니다. 행 하나는 “오늘이 이 상태라면 내일은 어디로 갈까?”를 나타내므로 각 행의 합은 1이 됩니다.

오늘 \ 내일	맑음	흐림	비
맑음	0.70	0.20	0.10
흐림	0.30	0.40	0.30
비	0.20	0.50	0.30

체크포인트: 0.70 + 0.20 + 0.10 = 1.00

계산은 행렬 곱셈

예: 오늘이 100% 맑음이면 v₀ = [1, 0, 0]. 내일은 [1, 0, 0]P = [0.70, 0.20, 0.10]입니다.

직접 눌러보기: 다음 날 시뮬레이션

시작 상태를 고른 뒤 “하루 진행”을 눌러보세요. 매번 같은 결과가 나오지는 않지만, 여러 번 반복하면 전이확률에 가까운 패턴이 나타납니다.

오늘이 맑음이면 내일은 맑음 70%, 흐림 20%, 비 10%

n일 후 확률 계산

오늘이 맑음이라고 할 때, n일 뒤 각각의 날씨가 될 확률을 계산합니다. 무작위 시뮬레이션이 아니라 행렬 곱셈으로 계산한 값입니다.

며칠 뒤? 1일 후

n이 커질수록 시작 상태의 영향이 줄고 일정한 비율에 접근할 수 있습니다. 단, 모든 마르코프 체인이 반드시 그렇게 되는 것은 아닙니다.

장기분포: 오래 보면 어디에 머무는가?

일부 마르코프 체인은 충분히 오래 반복하면 시작 상태와 거의 무관한 안정 비율에 가까워집니다. 이 예제에서는 장기적으로 대략 아래 비율에 접근합니다.

이 값은 위 전이행렬을 반복 곱해서 근사한 것입니다. 엄밀하게는 πP = π, π의 원소 합 = 1을 만족하는 분포를 구합니다.

초보자가 기억할 비유