좌표축을 돌려도 화살표는 그대로다
실제 벡터는 고정되어 있지만, 관찰자가 쓰는 좌표축이 회전하면 성분값은 달라진다. 텐서는 이 성분 변화 규칙까지 포함하는 대상이다.
(3.00, 2.00)원래 좌표계의 성분
-회전 좌표계의 성분
3.61좌표와 무관한 길이
불변실제 기하학적 대상
스텐실은 미분을 이웃 격자 계산으로 바꾼다
연속 공간의 라플라시안은 컴퓨터 안에서 중앙값과 상하좌우 이웃값의 가중합으로 근사된다. 격자 간격이 작아질수록 테일러 급수에서 버린 항의 영향이 줄어든다.
+1
+1
-4
+1
+1
∇²uᵢⱼ ≈ (uᵢ₊₁,ⱼ + uᵢ₋₁,ⱼ + uᵢ,ⱼ₊₁ + uᵢ,ⱼ₋₁ - 4uᵢⱼ) / h²
근사 오차를 숫자로 보기
예시 함수 `u(x,y)=sin(ax)+cos(by)`에서 5점 스텐실로 라플라시안을 계산한다. 연속 수식의 값과 격자 근사의 차이를 비교한다.
-연속 라플라시안
-스텐실 근사값
-절대 오차
5개읽는 격자점 수
uE + uW + uN + uS - 4uC = -
연속 법칙에서 GPU까지 이어지는 계산 흐름
텐서는 "무엇을 보존해야 하는가"를 정하고, 스텐실은 "컴퓨터가 어떻게 계산할 것인가"를 정한다. 현대 AI에서는 이 계산이 거대한 행렬 곱셈으로 압축된다.
01
기하학적 대상
스칼라, 벡터, 행렬, 고차원 텐서로 물리량이나 데이터를 표현한다.
02
좌표 변환
성분값은 바뀌지만 길이, 관계, 법칙의 구조는 유지되어야 한다.
03
공변 미분
휘어진 공간이나 변하는 좌표계에서 기준축 변화까지 보정한다.
04
스텐실 이산화
연속 미분을 격자 이웃값의 국소 가중합으로 바꾼다.
05
행렬 곱셈
딥러닝과 시뮬레이션의 큰 계산은 GPU와 Tensor Core에서 반복된다.
물리학의 질문좌표계가 바뀌어도 법칙은 같은 형태로 남는가?
수치해석의 질문연속 미분을 유한한 격자 계산으로 얼마나 정확히 바꿀 수 있는가?
AI 하드웨어의 질문고차원 배열 연산을 얼마나 빠르게 곱하고 누적할 수 있는가?